Die SPON-Aufgabe ist natürlich ein banaler Zweizeiler mit der Lösung h=d/(2*Pi)=15,9cm, wenn d die Verlängerung des Bandes (=1m) ist und h der gesuchte Abstand des verlängerten Bandes zur Erdoberfläche. Das ergibt sich sofort aus:
2*Pi*(r+h) = 2*Pi*r + d
Der Erdradius r verschwindet einfach aus dieser für h aufgelösten Gleichung.

Da das um d (d=1m) verlängerte Band nicht so ohne weiteres als Kreis über dem Äquator (Umfang u, Radius r, u=40Tkm, r=u/(2*Pi)) schweben kann, mache ich das etwas realistischer. Immerhin haben ja einige Foristen behauptet, dass das neue Band "nach unten" - wo immer das sein soll - oder ins All verschwindet.

Natürlich betrachte ich das Band weiterhin als undehnbar.

Wir schlagen jetzt entlang des Äquators in gleichem Abstand (sehr) viele, nämlich n, Pflöcke ein, die jeweils um h aus der Oberfläche ragen. Dann legen wir das um d verlängerte Band über diese Pflöcke, machen es an deren Spitzen irgendwie fest und fragen uns, wie groß h sein muss, damit das funktioniert. Natürlich muss der Abstand der Pflöcke klein genug sein, damit ein Bandstück zwischen zwei Pflöcken den Erdkreis schlimmstenfalls gerade berührt. Oder anders ausgedrückt: Die Pflockspitzen müssen von einem zum nächsten sichtbar bleiben. Siehe unten*).

Das neue, um d verlängerte Band bildet dann ein regelmäßiges n-Eck mit Innenwinkel mu=2 Pi/n und Seitenlänge
l=2*(r+h)*sin(mu/2).
Je mehr (n) Pflöcke wir verwenden, desto mehr nähert sich dieses n-Eck dem schwebenden SPON-Kreis an. Und für n gegen Unendlich sind wir wieder bei der SPON-Lösung.

Die Bestimmungsgleichung für h wird dann:
n*l = n*2*(r+h)*sin(mu/2) = 2*Pi*r + d

Oder mit der Hilfsgröße:
pn := n*sin(Pi/n)

h = (d/2 - (Pi-pn)*r)/pn

Damit lässt sich für jedes r, d und n die erforderliche Pflockhöhe h ausrechnen.

pn := n*sin(Pi/n) ist ist aber eine gute Näherung für Pi, die für große n (jenseits Tausend) sehr schnell konvergiert. Damit bekommen wir für n gegen Unendlich, pn gegen Pi wieder das SPON-Ergebnis:
h =d/(2*Pi)

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*) Um auf die Frage zurück zu kommen, wie viele Pflöcke wir mindestens brauchen:

Die Bedingung für n, dass kein Bandstück auf der Erde aufliegt, lautet:
(r+h)*cos(Pi/n) größer oder gleich r.